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大学入試難問(数学解答&数学56(積分ⅡB))

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 まずは、前回の数学(微分法)の解説からです。

先週の問題 数学(微分法)

<問題>

(1)aを正の定数とする。x≥0において、f(x)=xae-xの最大値を求めよ。

(2)(1)の最大値が最小となるときのaの値を求めよ。

<ヒント>

(1)微分(積の微分を利用)して、共通因数でくくり因数分解して、f'(x)の符号を考え増減表を書こう。

(2)(1)の最大値をg(a)とでもおいて、g(a)を微分するわけですが、aaという形があるので、対数微分法を使います。

<解答>


 問題自体は、それほど難しくはありませんが、対数微分法で微分しないと(2)は解けません。「指数部分も底の部分も関数のときは対数微分法」と覚えておいて下さい。

今週の問題 数学(積分ⅡB)

<問題>

 曲線y=x(x-2)2と直線y=mxについて

(1)m≥0において異なる3つの交点をもつようなmの値の範囲を求めよ。

(2)(1)のとき、曲線y=x(x-2)2と直線y=mxで囲まれる2つの部分の面積が等しくなるときのmの値を求めよ。

(3)(2)のとき、2つの部分の面積の和を求めよ。

<ヒント>

(1)X=0は交点になるので、他の異なる2つの解が正となるようなmの値の範囲を求める。

(2)曲線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件を考えましょう。(上下入れ替わって相殺されるので・・・)

(3)(2)のおまけです。


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