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まずは、数学の解答・解説。
前回の問題同様、区分求積法の問題は、
①∑の前に1/nを出す。
②∑の中をk/nの関数にして、k/n=xおく。
③0～1の範囲で（k=0はn=0に、k=n-1は1に対応）で積分。
その前に、2点間の距離の公式。三角関数の和→積の交換公式を使うことね。
＜問題＞
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中心が原点O、半径1の円を外接円とする正n角形がある。 各頂点をP0,P1,P2…Pｎ-1とし、この順に円周上に並んでいる。 x軸と線分OP0のなす角をΘとするとき。以下の極限を求めよ。 |
そして、物理です。惑星運動です。頑張って解きましょう。
＜問題＞
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（1）地球の中心から距離Rの円軌道を人工衛星が速さV0で飛行している。V0をR、万有引力定数G、地球の質量Mを用いて表せ。 （2）この人工衛星がガスジェットを噴射させた。噴射したガスと噴射後の人工衛星の質量比はα：(1-α)である。又、ガスジェットの速度は、人工衛星の進行方向とは逆方向で、噴射後の人工衛星との相対速度の大きさはβV0であった。但しαβ＜1である。ジェット噴射後の人工衛星の速さを求めよ。 （3）ジェット噴射後、人工衛星が無限遠まで飛んで行くためのα、βの条件を求めよ。 （4）（3）の条件が満たされない場合、人工衛星は楕円軌道上を動く。このとき地球の中心から、人工衛星が最も離れる点（遠地点）までの距離を求めよ。 （5）（4）の場合、遠地点での人工衛星の速さを求めよ。 |
ヒント：万有引力の法則と遠心力による運動方程式を立てることがまず最初にやること。
（2）相対速度と運動量保存則だね。
（3）エネルギー保存則を。
（4）（5）遠地点と地球の中心との距離を楕円を描いて求めて見れば、それほど難しいものではない。
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