まずは、数学の解答・解説からです。

＜問題＞

原点を中心とする単位円がある。長さ2πの糸の一端を円周上の点A(1,0)に固定し、他端をPとする。Pは最初、点P0(1,2π)に位置し、この状態から、糸がたるまないように引っ張りながら点Pを反時計回りに回転して、単位円に巻き付ける。このとき、点PはP0から点Aまで動くことになる。糸は伸び縮みしないものとして、このときの点Pの描く軌道の長さを求めよ。

＜ヒント＞

　取り敢えず、図を描いてみてね。

　糸と単位円の接点をT(cosΘ，sinΘ)とでもおくと、弧ATの長さがΘになるよね。だからPTの長さは2π-Θだ。直線PTが接線となるから、半径OTは直交するよね。これを利用して、ベクトルTPを表すわけです。そうすれば、ベクトルOP、すなわち点Pの位置ベクトルをΘを使って表せる。（媒介変数表示ができたわけだ！）あとは、曲線の長さの公式を使おう。

　面積や体積を求めるには、曲線の概形を描いて考える必要があることが多いけど、曲線の長さは、それをしなくても大丈夫です。公式だけで求められるのですよ。

　それでは、今回の問題。今回も数学です。これは、初見だと、まず無理。似たような問題を解いたことがないと、ちょっときついかな。それでは、どうぞ！！

＜問題＞

f(x)は、x>0で定義された関数であり、x=1で微分可能である。また、f’(1)=2であり、任意の正の数で以下の式が常に成り立つ。 　　f(xy)=f(x)+f(y) （1）f(1)の値を求めよ。 （2）f(1/x)をf(x)で表せ。 （3）f(x/y)をf(x)とf(y)で表せ。 （4）f(x)は、任意のx(>0)に対して、微分可能であることを示せ。 （5）f(x)を求めよ。

 

＜ヒント＞

（1）これは、x=y=1を代入してみて。パズル感覚で解いていく感じでね。

（2）（1）の結果を利用。

（3）与式と（2）の結果を利用。

（4）ある点で微分可能というのは、滑らかに連続ということなので、その点での接線が引けるということ。つまり、導関数が存在することね。つまりだ、f'(x)が存在することを示せばよいわけ。

（5）（4）の結果から。

　次回は、物理「RLC回路」交流の問題です。お楽しみに♪

　受験や学習のご相談、喜んでお答えします。問い合わせフォームからどうぞ！！